Matura

Nie da się ukryć, że prawdopodobieństwo to prawdopodobnie jedne z najmilszych zadań, jakie możesz spotkać na maturze. Chcesz się przekonać? Rozwiąż z nami zadanie 31 z czerwcowej matury 2024! By móc obliczyć prawdopodobieństwo wystąpienia konkretnego zdarzenia, musisz najpierw się dowiedzieć ile w ogóle występuje wszystkich możliwości. Jak to obliczyć? W zadaniu rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką. Zatem w jednym rzucie może wypaść 1, 2, 3, 4, 5 lub 6 oczek, co daje w sumie 6 różnych możliwości. Ale! To jeszcze nie koniec, bo w zadaniu rzucamy dwa razy. Zatem 6 musisz podnieść do potęgi drugiej, czyli ostatecznie wychodzi 36 różnych możliwości.

KROK. 1

Teraz postaraj się znaleźć i wypisać wszystkie możliwości konkretnego zdarzenia A, w którym liczba oczek z pierwszego rzutu jest większa od liczby oczek w drugim rzucie. Załóżmy, że w drugim rzucie wypadła 1, więc w pierwszym mogła wypaść: 6, 5, 4, 3 lub 2. 1 nie mogła wypaść w pierwszym rzucie, bo nie byłaby większa od liczby w drugim rzucie.

KROK. 2

Postępując w ten sam sposób wypisz resztę par liczb, takich, że pierwsza z nich jest większa od drugiej. Przykładowo dla 2 będzie to: (6,2) (5,2) (4,2) oraz (3,2).

KROK. 3

Następnie dodaj do siebie otrzymane wyniki. Takich par, że drugą liczba jest jeden jest 5, par z dwójką jest 4, z trójką 3, z czwórką 2 i z piątką jedna. Warto zauważyć, że nie ma ani jednej pary, takiej, że drugą liczbą byłaby szóstka. W sumie jest 15 możliwości.

KROK. 4

Przed Tobą ostatni krok, czyli zapisanie odpowiedzi.  Prawdopodobieństwo zdarzenia A zapisujemy w postaci ułamka. U góry jest liczba takich możliwości, gdzie pierwsza wyrzucona liczb jest większa od drugiej (jest ich 15), a na dole ułamka jest liczba wszystkich możliwości (36). Skracamy ułamek i voilà, zadanie skończone!

KROK. 5

Dowody, choć z pozoru mogą wydawać się trudne, wcale takie nie są! A dzisiaj zobaczysz, że nawet da się je lubić. Przed nami zadanie 3 z matury 2024. Żeby móc rozwiązać to zadanie, musisz dowiedzieć się co kryje się w nawiasach. Tutaj na pomoc wkraczają wzory skróconego mnożenia, a dokładnie ten wzór: (a+b)²=a²+2ab+b². Spokojnie, nie musisz uczyć się go na pamięć, bo na egzaminie dojrzałości znajdziesz go w kartach maturalnych.

Więc co otrzymasz? n² zostaje tak jak było. Z nawiasu (n+1)² wyjdzie n²+n +1, natomiast z drugiego nawiasu (n+2)² zostanie n²+4n+4

KROK. 1 Tak rozpisane wyrażenie powinieneś uprościć, czyli po prostu wszystko co się da sklejasz w jedno. I w ten sposób otrzymasz: 3n²+6n+5.
Uff, najcięższe kroki za tobą. Teraz już będzie z górki!

KROK. 2 Przed tobą sprawdzenie, które z otrzymanych czynników są podzielne przez 3. Pamiętaj, że dane wyrażenie jest podzielne przez 3, gdy resztą z dzielenia jest zero.

Zatem patrząc od początku: wyrażenie 3n² jest podzielne przez 3, bo jest to wynik mnożenia 3 i n². Gdybyś podzielił 3n² przez 3 otrzymałbyś n² i resztę 0.

KROK. 3 W podobny sposób postępujesz z kolejnym wyrażeniem. Dlaczego 6n jest podzielne przez 3? Dlatego, że jest to mnożenie 6 i n, a przy dzieleniu otrzymasz wynik 2n i resztę 0. Zastanów się w takim razie, co z samotną 5? Gdy podzielisz 5 przez 3 otrzymasz ładny wynik 1 i resztę równą 2. I jesteś już o krok od odpowiedzi! Zapisz jeszcze ostatnie wnioski końcowe. W naszym wyrażeniu dwa czynniki były podzielne przez 3, natomiast ten ostatni już nie był. Reszty z dzielenia wynosiły po kolei: 0, 0 i 2. Gdy dodasz do siebie wszystkie te reszty, otrzymasz resztę całego wyrażenia, czyli 0+0+2=2, a właśnie to miałeś udowodnić.

Udało się!

KROK. 4

Wielomiany, to zagadnienie, które bardzo często pojawia się w arkuszach maturalnych. Nie ma co zwlekać, naucz się je rozwiązywać, by nie dać się zaskoczyć na egzaminie! Przed tobą zadanie 9 z maja 2023 roku. Na pierwszy rzut oka podany wielomian nie wygląda zbyt zachęcająco. Nic bardziej mylnego, bo zaraz zobaczysz, że może wyglądać lepiej.
Skorzystaj z metody grupowania, w której chodzi o to by wyciągnąć część wspólna przed wyrażenie. W tym przykładzie nasze dwie grupy zostały zaznaczone na różowo i fioletowo.

KROK. 1 Gdy grupy są już lepiej widoczne wyciągnij część wspólną. Zawsze staraj się wyciągnąć najwięcej jak tylko się da. Co łączy 3x³-2x²? Oczywiście x², dlatego to właśnie to wyrażenie postaw przed nawiasem, a wszystko to co pozostało wrzuć do środka nawiasu.

Wyciągając przed nawias dzielisz 3x³ przez x², a wynik tego dzielenia zostawiasz w nawiasie. Tak samo postępujesz z -2x², dzieląc przez x² otrzymujesz -2. Pamiętaj by przy wszystkich obliczeniach znalazły się odpowiednie znaki (+ lub -)!

W identyczny sposób postępujesz z druga grupą, zaznaczoną na obrazku kolorem fioletowym.

KROK. 2

Zerknij na to co otrzymałeś. Czy któreś wyrażenia nie wyglądają podobnie, albo nawet identycznie? Nadeszła pora, byś znów wyciągnął je przed nawias!

Wyrażenie, które jest takie samo stawiasz na początku w jednym nawiasie, a do drugiego wrzucasz wszystko to, co pozostało. Prawda, że proste?

KROK. 3 Przyjrzyj się dobrze wyrażeniu. Czy któryś z nawiasów nie przypomina wzoru skróconego mnożenia? Tak, oczywiście drugi nawias, u nas zaznaczony na fioletowo, to nic innego jak wzór: a²-b²=(a-b)(a+b). Wystarczy tylko go dobrze zastosować.

KROK. 4 Masz przed sobą mnożenie trzech nawiasów, które daje wynik 0. Zatem wystarczy, że co najmniej jeden nawias będzie równy 0 i już masz skończone zadanie. Jak to sprawdzić? To co znajduje się w nawiasie musisz przyrównać do 0 i rozwiązać małe równanie, czyli znaleźć x. Tę czynność powtórz trzykrotnie (dla każdego nawiasu).

KROK. 5 I to już koniec! Pozostało tylko zapisać wszystkie kroki, które wykonałeś i… gotowe!

KROK. 6