Blog

Dowody, choć z pozoru mogą wydawać się trudne, wcale takie nie są! A dzisiaj zobaczysz, że nawet da się je lubić. Przed nami zadanie 3 z matury 2024. Żeby móc rozwiązać to zadanie, musisz dowiedzieć się co kryje się w nawiasach. Tutaj na pomoc wkraczają wzory skróconego mnożenia, a dokładnie ten wzór: (a+b)²=a²+2ab+b². Spokojnie, nie musisz uczyć się go na pamięć, bo na egzaminie dojrzałości znajdziesz go w kartach maturalnych.

Więc co otrzymasz? n² zostaje tak jak było. Z nawiasu (n+1)² wyjdzie n²+n +1, natomiast z drugiego nawiasu (n+2)² zostanie n²+4n+4

KROK. 1 Tak rozpisane wyrażenie powinieneś uprościć, czyli po prostu wszystko co się da sklejasz w jedno. I w ten sposób otrzymasz: 3n²+6n+5.
Uff, najcięższe kroki za tobą. Teraz już będzie z górki!

KROK. 2 Przed tobą sprawdzenie, które z otrzymanych czynników są podzielne przez 3. Pamiętaj, że dane wyrażenie jest podzielne przez 3, gdy resztą z dzielenia jest zero.

Zatem patrząc od początku: wyrażenie 3n² jest podzielne przez 3, bo jest to wynik mnożenia 3 i n². Gdybyś podzielił 3n² przez 3 otrzymałbyś n² i resztę 0.

KROK. 3 W podobny sposób postępujesz z kolejnym wyrażeniem. Dlaczego 6n jest podzielne przez 3? Dlatego, że jest to mnożenie 6 i n, a przy dzieleniu otrzymasz wynik 2n i resztę 0. Zastanów się w takim razie, co z samotną 5? Gdy podzielisz 5 przez 3 otrzymasz ładny wynik 1 i resztę równą 2. I jesteś już o krok od odpowiedzi! Zapisz jeszcze ostatnie wnioski końcowe. W naszym wyrażeniu dwa czynniki były podzielne przez 3, natomiast ten ostatni już nie był. Reszty z dzielenia wynosiły po kolei: 0, 0 i 2. Gdy dodasz do siebie wszystkie te reszty, otrzymasz resztę całego wyrażenia, czyli 0+0+2=2, a właśnie to miałeś udowodnić.

Udało się!

KROK. 4

Wielomiany, to zagadnienie, które bardzo często pojawia się w arkuszach maturalnych. Nie ma co zwlekać, naucz się je rozwiązywać, by nie dać się zaskoczyć na egzaminie! Przed tobą zadanie 9 z maja 2023 roku. Na pierwszy rzut oka podany wielomian nie wygląda zbyt zachęcająco. Nic bardziej mylnego, bo zaraz zobaczysz, że może wyglądać lepiej.
Skorzystaj z metody grupowania, w której chodzi o to by wyciągnąć część wspólna przed wyrażenie. W tym przykładzie nasze dwie grupy zostały zaznaczone na różowo i fioletowo.

KROK. 1 Gdy grupy są już lepiej widoczne wyciągnij część wspólną. Zawsze staraj się wyciągnąć najwięcej jak tylko się da. Co łączy 3x³-2x²? Oczywiście x², dlatego to właśnie to wyrażenie postaw przed nawiasem, a wszystko to co pozostało wrzuć do środka nawiasu.

Wyciągając przed nawias dzielisz 3x³ przez x², a wynik tego dzielenia zostawiasz w nawiasie. Tak samo postępujesz z -2x², dzieląc przez x² otrzymujesz -2. Pamiętaj by przy wszystkich obliczeniach znalazły się odpowiednie znaki (+ lub -)!

W identyczny sposób postępujesz z druga grupą, zaznaczoną na obrazku kolorem fioletowym.

KROK. 2

Zerknij na to co otrzymałeś. Czy któreś wyrażenia nie wyglądają podobnie, albo nawet identycznie? Nadeszła pora, byś znów wyciągnął je przed nawias!

Wyrażenie, które jest takie samo stawiasz na początku w jednym nawiasie, a do drugiego wrzucasz wszystko to, co pozostało. Prawda, że proste?

KROK. 3 Przyjrzyj się dobrze wyrażeniu. Czy któryś z nawiasów nie przypomina wzoru skróconego mnożenia? Tak, oczywiście drugi nawias, u nas zaznaczony na fioletowo, to nic innego jak wzór: a²-b²=(a-b)(a+b). Wystarczy tylko go dobrze zastosować.

KROK. 4 Masz przed sobą mnożenie trzech nawiasów, które daje wynik 0. Zatem wystarczy, że co najmniej jeden nawias będzie równy 0 i już masz skończone zadanie. Jak to sprawdzić? To co znajduje się w nawiasie musisz przyrównać do 0 i rozwiązać małe równanie, czyli znaleźć x. Tę czynność powtórz trzykrotnie (dla każdego nawiasu).

KROK. 5 I to już koniec! Pozostało tylko zapisać wszystkie kroki, które wykonałeś i… gotowe!

KROK. 6